Cho hàm số y=x^3-3x^2+4 có đồ thị (C). Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k

20/20

Cho hàm số y=x³-3x²+4 có đồ thị (C) . Gọi d là đường thẳng qua I(1; 2) với hệ số góc k . Có bao nhiêu giá trị nguyên của k để d cắt (C) tại ba điểm phân biệt I, A, B sao cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB là

vô số

Giải thích

Phương trình đường thẳng d: y = k(x - 1) + 2.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng d:

x³- 3x²+ 4 = k(x - 1) + 2.

Hay x³- 3x²- kx + k + 2 = 0 (1)

⇔(x-1)(x2-2x-k-2)=0

( C) cắt d tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt x₁; x₂ khác 1

⇔∆'g>0g(1)≠0⇔k+3>0-3-k≠0⇔k>-3

Hơn nữa theo Viet ta có

x1+x2=2=2xIy1+y2=k(x1+x2)-2k+4=4=2yI

nên I là trung điểm AB.

Vậy chọn k > -3, hay k ∈ (-3; +∞). Do đó có vô số giá trị k nguyên thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D.