Cho hàm số y = x^3 − 3x^2 + 2. Tìm điểm I thuộc đồ thị hàm số biết hoành độ của I là nghiệm của phương trình y" = 0.

a) Xét hàm số \({\rm{y}} = {{\rm{x}}^3} - 3{{\rm{x}}^2} + 2\). Tập xác định của hàm số là \({\rm{D}} = {\rm{R}}\).

Ta có \({{\rm{y}}^\prime } = 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}};{{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 6{\rm{x}} - 6\); \({{\rm{y}}^{\prime \prime }} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 1.{\rm{ }}\)

Với \({\rm{x}} = 1\), ta có \({\rm{y}}(1) = 0\).

Vậy \({\rm{I}}(1;0)\).

b) Ta có \({{\rm{y}}^\prime } = 0 \Leftrightarrow 3{{\rm{x}}^2} - 6{\rm{x}} = 0 \Leftrightarrow {\rm{x}} = 0\) hoă̆c \({\rm{x}} = 2\).

Bảng biến thiên:

Do đó, hàm số đạt cực đại tại \({\rm{x}} = 0\), giá trị cực đại là \({{\rm{y}}_{{\rm{CD}}}} = 2\); hàm số đạt cực tiếu tại \({\rm{x}} = 2\), giá trị cực tiếu là \({{\rm{y}}_{{\rm{CT}}}} =  - 2\).

Hai điềm cực trị của đồ thị hàm số là \((0;2)\) và \((2; - 2)\).

Ta thấy \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\frac{{0 + 2}}{2} = 1}\\{\frac{{2 + ( - 2)}}{2} = 0}\end{array}} \right.\).

Vâ̂y điếm \({\rm{I}}(1;0)\) là trung điếm của đoạn thắng nối hai điếm cực trị của đồ thị hàm số.