Cho hàm số y= x^3 + 3x^2 + 1 có đồ thị (C) và điểm A(1;m). Gọi S là tập hợp tất cả

Gọi \(k\) là hệ số góc của đường thẳng \(d\) qua A.

Ta có phương trình của \(d\) có dạng: \[y = k\left( {x - 1} \right) + m = kx + m - k.\]

\(d\) tiếp xúc \((C) \Leftrightarrow \) hệ sau có nghiệm \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{kx + m - k = {x^3} + 3{x^2} + 1}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 2{x^3} + 6x + 1}\\{k = 3{x^2} + 6x}\end{array}} \right.} \right..\)

Yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \) phương trình \((*)\) phải có 3 nghiệm phân biệt.

Xét hàm số \(f\left( x \right) =  - 2{x^3} + 6x + 1\); Ta có \(f'\left( x \right) =  - 6{x^2} + 6 = 0 \Leftrightarrow x =  \pm 1.\)

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên, để phương trình \((*)\) có 3 nghiệm phân biệt suy ra \( - 3 < m < 5.\)

Vậy số phần tử của \(S\) là 7. Chọn B.