Cho hàm số y = x^3 + 3x^2 + 1 có đồ thị (C). Gọi d là tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;5) và B là giao điểm thứ hai của d với (C). Tính diện tích tam giác OAB?

Hàm số y = x³ + 3x² + 1

Xét đạo hàm:y′ = 3x² + 6x

⇒ y′(1) = 9

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm A(1;5) là:

y = 9(x − 1) + 5 = 9x – 4 ⇔ 9x – y – 4 = 0 (d) hay y = 9x – 4

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x³ + 3x² + 1 = 9x – 4

Û x³ + 3x² – 9x + 5 = 0

⇔x=−5x=1⇔y=−49y=5

Do đó giao điểm thứ hai của d với (C) là B(–5; –49).

AB=(−5−1)2+(−49−5)2=682

d(O;  AB)=d(O;  d)=−492+12=482

⇒SOAB=12d(O;d) . AB=12⋅482⋅682=12

Vậy SOAB=12.