Cho hàm số y = (x^2 - x - 1)/(x - 2).

Hàm số có tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Ta biến đổi hàm số: \(y = \frac{{x\left( {x - 2} \right) + \left( {x - 2} \right) + 1}}{{x - 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x - 2}}\).

a) SAI. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} y = - \infty \Rightarrow x = 2\) là tiệm cận đứng.

Bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang (có tiệm cận xiên \(y = x + 1\)).

b) SAI. Tính đạo hàm: \(y' = 1 - \frac{1}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {x - 2} \right)}^2} - 1}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 4x + 3}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Giải phương trình \(y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1}\\{x = 3}\end{array}} \right.\).

Đạo hàm đổi dấu khi qua \(x = 1\) và \(x = 3\) nên hàm số có 2 điểm cực trị.

c) ĐÚNG. Bảng xét dấu đạo hàm \(y'\):

Với \(x \in \left( {3; + \infty } \right)\), ta có \(y' > 0\) nên hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right)\).

d) SAI. Trên nửa khoảng \(\left( {2;6} \right]\), dựa vào bảng xét dấu ta thấy trên \(\left( {2;3} \right]\) hàm số nghịch biến đi xuống cực tiểu tại \(x = 3\) (\(y\left( 3 \right) = 5\)). Trên \(\left[ {3;6} \right]\) hàm số đồng biến đi lên.

Ta tính giá trị tại biên \(x = 6\): \(y\left( 6 \right) = \frac{{{6^2} - 6 - 1}}{{6 - 2}} = \frac{{29}}{4}\).

Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = + \infty \), nên trên nửa khoảng \(\left( {2;6} \right]\), hàm số tiến tới \( + \infty \) khi \(x\) tiến về \(2\). Do đó hàm số không có giá trị lớn nhất trên nửa khoảng này.