Cho hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số. a) Khi m = 3, tìm tọa độ các giao điểm

a) Phương trình hoành độ giao điểm

\[{{\rm{x}}^2} = mx + 4\]

\( \Rightarrow {x^2} - mx - 4 = 0\)

Thay : m = 3

\( \Rightarrow {x^2} - 3x - 4 = 0\)

\( \Rightarrow \left( {x - 4} \right)\left( {x + 1} \right) = 0\)

\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 4}\\{x = - 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{y = 16}\\{y = 1}\end{array}} \right. \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{A\left( {4;16} \right)}\\{B\left( { - 1;1} \right)}\end{array}} \right.\).

b) Ta có phương trình hoành độ giao điểm:

x² – mx – 4 = 0.

Ta thấy ∆ = m² + 16 > 0

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt x₁ và x₂.

Áp dụng định lí Vi – et, ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = m\\{x_1}{x_2} = - 4\end{array} \right.\)

Ta có: (y₁)² = \(x_1^4\); (y₂)² = \(x_2^4\)

\( \Rightarrow {\left( {{y_1}} \right)^2} + {\left( {{y_2}} \right)^2} = x_1^4 + x_2^4 = {\left( {x_1^2 + x_2^2} \right)^2} - 2x_1^2x_2^2\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^4} - 4{x_1}{x_2}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 4x_1^2x_2^2 - 2x_1^2x_2^2\)

\( = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^4} - 4{x_1}{x_2}{\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} + 2x_1^2x_2^2\)

= m⁴ – 4.( – 4).m² + 2(– 4)²

= m⁴ + 16m² + 32

Suy ra m⁴ + 16m² + 32 = 7

⇔ m⁴ + 16m² + 25 = 0 (vô nghiệm).

Vậy không tồn tại m thỏa mãn điều kiện.