Cho hàm số \(y = {x^2}\) có đồ thị \((P)\).

a) Vẽ đồ thị \((P)\)trên mặt phẳng tọa độ \[Oxy\].

Bảng giá trị:

Đồ thị hàm số \(y = {x^2}\) là một Parabol \((P)\) đi qua các điểm \(\left( { - 2;{\rm{ 4}}} \right)\), \(\left( { - 1;{\rm{ 1}}} \right)\); \(\left( {0;{\rm{ 0}}} \right)\); \(\left( {1;{\rm{ 1}}} \right)\), \(\left( {2;{\rm{ 4}}} \right)\)

b) Tìm giá trị nguyên của tham số \(m\) để đường thẳng \((d):y = 2mx - {m^2} + 1\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 2024 < {x_2}\).

Hoành độ giao điểm của \((d)\) và \((P)\) là nghiệm phương trình:

\({x^2} = 2mx - {m^2} + 1\)

\( \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - 1 = 0\) \(\left( 1 \right)\)

Đường thẳng \((d)\) cắt \((P)\) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình \(\left( 1 \right)\) có hai nghiệm phân biệt

\( \Leftrightarrow \Delta ' > 0\)

\( \Leftrightarrow {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left( {{m^2} - 1} \right) > 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - {m^2} + 1 > 0\)

\( \Leftrightarrow 1 > 0\)  (Hiển nhiên)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) luôn có 2 nghiệm phân biệt \({x_1},{x_2}\) hay đường thẳng \((d)\) luôn cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2}\) với mọi giá trị \(m\).

\({x_1} = \frac{{m - \sqrt 1 }}{1} = m - 1\)

\({x_1} = \frac{{m + \sqrt 1 }}{1} = m + 1\)

Ta có: \({x_1} < 2024 < {x_2}\)

\( \Leftrightarrow m - 1 < 2024 < m + 1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m - 1 < 2024\\m + 1 > 2024\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2025\\m > 2023\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow m = 2024\) (Vì cần tìm \(m\) có giá trị nguyên)

Vậy \(m = 2024\) thì \((d)\) cắt \((P)\) tại hai điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là \({x_1},{x_2}\) thỏa mãn \({x_1} < 2024 < {x_2}\).