Cho hàm số y = ((x^2) - 3x + 6)(x - 1)

Lời giải

a)     Đúng.

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}\)

Ta có \(y' = \frac{{{x^2} - 2x - 3}}{{{{(x - 1)}^2}}}\) ; \(y' = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\\x = 3\end{array} \right.\)

Ta có bảng biến thiên sau

Điểm cực tiểu của đồ thị hàm số bằng: \(\left( {3;3} \right)\)\( \Rightarrow {a^2} + b = {3^2} + 3 = 12\).

b) Đúng.  Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0;\,\,\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } \left( {\frac{{{x^2} - 3x + 6}}{{x - 1}} - (x - 2)} \right) = 0\)

                 Vậy đồ thị hàm số có đường tiệm cận xiên là \(y = x - 2\).

c) Sai.  

+) Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là: \(x = 1\)

Ta có tọa độ giao điểm của 2 đường tiệm cận của đồ thị là \(I(1; - 1)\).

+) Điểm thuộc đồ thị có hoành độ \(x = 2\) là  \(M(2;4)\). Tiếp tuyến tại \(M\) có phương trình là \(y - 4 = f'(2)(x - 2) \Leftrightarrow y =  - 3x + 2\) (d)

Gọi điểm \(A\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên \(A\left( {1; - 1} \right)\)

Gọi điểm \(B\) là giao điểm của đường tiệm cận đứng và tiếp tuyến (d), nên tọa độ điểm \(B\) là nghiệm của hệ \(\left\{ \begin{array}{l}y = x - 2\\y =  - 3x + 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y =  - 1\end{array} \right. \Rightarrow \) \(B\left( {1; - 1} \right)\)

Vậy \(A \equiv B \equiv I\), không tồn tại tam giác.

d) Đúng.  Dựa vào bảng biến thiên ta có \(4 < m < f(5) \approx 13,28\)

Do tham số \(m\)là số nguyên, nên \(m \in \left\{ {5;6;7;8;9;10;11;12;13} \right\}\), có 9 giá trị.