Cho hàm số y = (x^2 - 3x - 5)/(x - 3).

Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 3 \right\}\).

Ta tính đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x - 3} \right)\left( {x - 3} \right) - 1\left( {{x^2} - 3x - 5} \right)}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{2{x^2} - 9x + 9 - {x^2} + 3x + 5}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} - 6x + 14}}{{{{\left( {x - 3} \right)}^2}}}\).

Xét tử số của đạo hàm: \({x^2} - 6x + 14 = {\left( {x - 3} \right)^2} + 5 > 0,\forall x \in D\).

Vì \(y' > 0\) với mọi \(x \ne 3\) nên:

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định \(\left( { - \infty ;3} \right)\) và \(\left( {3; + \infty } \right)\). Do đó ý c) nói đồng biến trên \(\mathbb{R}\) là Sai.

Hàm số không có điểm cực trị nào. Do đó ý b) và ý d) đều Sai.

Xét trên đoạn \(\left[ { - 2;0} \right]\) thuộc khoảng \(\left( { - \infty ;3} \right)\), hàm số đồng biến liên tục nên giá trị lớn nhất đạt được tại \(x = 0\): \(\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 2;0} \right]} y = y\left( 0 \right) = \frac{{{0^2} - 3 \cdot 0 - 5}}{{0 - 3}} = \frac{{ - 5}}{{ - 3}} = \frac{5}{3}\). Vậy ý a) là Đúng.

a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Sai.