Cho hàm số y = (-x^2 + 2x - 4)/(x - 2). Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

a) SAI. Tập xác định của hàm số là \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( { - 2x + 2} \right)\left( {x - 2} \right) - 1 \cdot \left( { - {x^2} + 2x - 4} \right)}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}} = \frac{{ - {x^2} + 4x}}{{{{\left( {x - 2} \right)}^2}}}\).

Cho \(y' = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 4x = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 4\).

Bảng biến thiên của hàm số:

Đạo hàm mang dấu dương trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\), do đó hàm số đồng biến trên \(\left( {0;2} \right)\) và \(\left( {2;4} \right)\). Ở khoảng \(\left( {4; + \infty } \right)\) đạo hàm mang dấu âm nên hàm số nghịch biến.

b) SAI. Phương trình hoành độ giao điểm: \[\frac{{ - {x^2} + 2x - 4}}{{x - 2}} = 0\].

Phương trình \( - {x^2} + 2x - 4 = 0\) vô nghiệm nên đồ thị không cắt trục \(Ox\).

c) SAI. Tiệm cận đứng của đồ thị là \(x = 2\). Thực hiện phép chia đa thức: \(y = - x + \frac{{ - 4}}{{x - 2}}\), suy ra tiệm cận xiên là \(y = - x\). Tâm đối xứng là giao điểm của tiệm cận đứng và tiệm cận xiên: \(x = 2 \Rightarrow y = - 2 \Rightarrow I\left( {2; - 2} \right)\).

d) ĐÚNG. Từ câu a), hai hoành độ cực trị là \(x = 0\) và \(x = 4\).

Với \(x = 0 \Rightarrow y = 2 \Rightarrow A\left( {0;2} \right)\).

Với \(x = 4 \Rightarrow y = - 6 \Rightarrow B\left( {4; - 6} \right)\).

Khoảng cách \(AB = \sqrt {{{\left( {4 - 0} \right)}^2} + {{\left( { - 6 - 2} \right)}^2}} = \sqrt {16 + 64} = \sqrt {80} = 4\sqrt 5 \).