Cho hàm số y = |x/ x^2+1| (m là tham số thực) có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Đặt \(f\left( x \right) = \frac{x}{{{x^2} + 1}} + m\) với \(m\) là tham số \( \Rightarrow y = \left| {f\left( x \right)} \right|\)

Ta có \(y' = \frac{{f'\left( x \right) \cdot f\left( x \right)}}{{\left| {f\left( x \right)} \right|}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{f'\left( x \right) = 0}\\{f\left( x \right) = 0}\end{array}} \right.\)

Phương trình \(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - {x^2}}}{{{{\left( {{x^2} + 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x =  - 1}\\{x = 1}\end{array}} \right.\)

Phương trình \(f\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{{{x^2} + 1}} =  - m \Leftrightarrow m{x^2} + x + m = 0\) có tối đa 2 nghiệm.

Vậy hàm số đã cho có tối đa \(2 + 2 = 4\) điểm cực trị.

Đáp án: 4.