Cho hàm số y = (x + m)/(x - 1) (với m là tham số thực)

20/25

Cho hàm số \[y = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\] (với \[m\] là tham số thực).

1. Với \[m = 1\] thì \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = \]	A. \[4\].
2. Với \[m = 2\] thì \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = \]	B. \[3\].
3. Hàm số đạt giá trị lớn nhất bằng \[5\] trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\) khi \(m = \)	C. \(5\).
4. Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất bằng \[5\] trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\)khi \(m = \)	D. \[\frac{5}{3}\].
	E. \(\frac{4}{3}\)
	F. \(11\).

Đáp án: 1 – __ ; 2 – __ ; 3 – __ ; 4 – __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Với \[m = 1 \Rightarrow y = \frac{{x + 1}}{{x - 1}}\] \[ \Rightarrow y' = - \frac{2}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\] với mọi \(x \ne 1\).

Do đó hàm số này nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\).

Suy ra \[\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 4 \right) = \frac{5}{3}\].

Với \[m = 2 \Rightarrow y = \frac{{x + 2}}{{x - 1}}\] \[ \Rightarrow y' = - \frac{3}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0\] với mọi \(x \ne 1\).

Do đó hàm số này nghịch biến trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\).

Suy ra \[\mathop {\max }\limits_{\left[ {2;4} \right]} y = y\left( 2 \right) = 4\].

Xét hàm số \[y = f\left( x \right) = \frac{{x + m}}{{x - 1}}\]. Đạo hàm \[f'\left( x \right) = - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}.\]

TH1: Với \[m > - \,1\] suy ra \[f'\left( x \right) = - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} < 0;\,\,\forall x \ne 1\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] nghịch biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {\min }\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{m + 4}}{3} = 5 \Leftrightarrow m = 11\,\,{\rm{(N)}}\\\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = m + 2 = 5 \Leftrightarrow m = 3\,\,\,{\rm{(N)}}\end{array} \right..\]

TH2: Với \[m < - \,1\] suy ra \[f'\left( x \right) = - \frac{{m + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} > 0;\,\,\forall x \ne 1\] nên hàm số \[f\left( x \right)\] đồng biến trên mỗi khoảng xác định. Khi đó \[\left\{ \begin{array}{l}\mathop {{\rm{max}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 4 \right) = \frac{{m + 4}}{3} = 5 \Leftrightarrow m = 11\\\mathop {{\rm{min}}}\limits_{\left[ {2;4} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = m + 2 = 5 \Leftrightarrow m = 3\end{array} \right.\] (loại).

Đáp án: 1 – D; 2 – A; 3 – B; 4 – F.