Cho hàm số y =( x − m ^2 − 1 )/(x − m) có bao nhiêu giá trị nguyên m thỏa mãn m a x [ 0 ; 4 ] y = − 6

Tập xác định \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ m \right\}\).

Có \(y' = \frac{{{m^2} - m + 1}}{{{{\left( {x - m} \right)}^2}}} > 0\), \(\forall x \in D\) (do \({m^2} - m + 1 = {\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0\), \(\forall m \in \mathbb{R}\)).

Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ;\,m} \right)\) và \(\left( {m;\, + \infty } \right)\).

Khi đó \[\mathop {max}\limits_{\left[ {0;\,4} \right]} \,y = y\left( 4 \right)\].

Để hàm số đã cho có giá trị lớn nhất trên \(\left[ {0;\,4} \right]\) bằng \( - 6\) thì

\(\left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\y\left( 4 \right) =  - 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\frac{{3 - {m^2}}}{{4 - m}} =  - 6\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\{m^2} + 6m - 27 = 0\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \notin \left[ {0;\,4} \right]\\\left[ \begin{array}{l}m = 3\\m =  - 9\end{array} \right.\end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow m =  - 9\).

Vậy có một giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.