Cho hàm số \(y = \frac{{{x^2} - x - 1}}{{x + 1}}\) . (a) Xét tính đơn điệu của hàm số. (b) Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị hàm số.

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Đạo hàm: \(y' = \frac{{\left( {2x - 1} \right)\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} - x - 1} \right)}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} = \frac{{{x^2} + 2x}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\).

Ta có \[y' = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 2x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0{\rm{\;}}\\x = - 2\end{array} \right.\].

Bảng biến thiên:

Kết luận tính đơn điệu:

Hàm số đồng biến trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - 2} \right)\) và \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng \(\left( { - 2; - 1} \right)\) và \(\left( { - 1;0} \right)\).

b) Tọa độ các điểm cực trị:

Với \({x_1} = - 2 \Rightarrow {y_1} = - 5 \Rightarrow A\left( { - 2; - 5} \right)\).

Với \({x_2} = 0 \Rightarrow {y_2} = - 1 \Rightarrow B\left( {0; - 1} \right)\).

Khoảng cách giữa hai điểm cực trị \(A\) và \(B\) là: \(AB = \sqrt {{{\left( {0 - \left( { - 2} \right)} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - \left( { - 5} \right)} \right)}^2}} = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \).