Cho hàm số y = { x^ 2 − 7 x + 12 x − 3 khi x ≠ 3 − 1 khi x = 3 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

11/22

Cho hàm số \(y = \left\{ \begin{array}{l}\frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}}\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,\,x \ne 3\\ - 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\rm{khi}}\,\,x = 3\end{array} \right.\). Mệnh đề nào sau đây đúng?

Hàm số liên tục nhưng không có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).

Hàm số gián đoạn và không có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).

Hàm số có đạo hàm nhưng không liên tục tại \({x_0} = 3\).

Hàm số liên tục và có đạo hàm tại \({x_0} = 3\).

Giải thích

Chọn D

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{{x^2} - 7x + 12}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 = y\left( 3 \right)\) nên hàm số liên tục tại \({x_0} = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right) - \left( {{3^2} - 7.3 + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \frac{{\left( {{x^2} - 7x + 12} \right)}}{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \left( {x - 4} \right) = - 1 \Rightarrow y'\left( 3 \right) = - 1\).