Cho hàm số y = ( m^2 − 1 ) x 3 + ( m − 1 ) x^2 − x + 4 . Khi đó a) Khi m = 1 thì hàm số đồng biến trên khoảng ( − ∞ ; + ∞ ) .

a)

S

b)

Đ

c)

Đ

d)

S

 

Ta có \(y' = 3\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 1\)

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng\(\left( { - \infty \,; + \infty } \right) \Leftrightarrow y' \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\)

\( \Leftrightarrow 3\left( {{m^2} - 1} \right){x^2} + 2\left( {m - 1} \right)x - 1 \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\).

Trường hợp 1: \({m^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m =  \pm 1\).

Với \(m = 1\), ta được \( - 1 \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R}\) , suy ra \(m = 1\) .

Với \(m =  - 1\), ta được \( - 4x - 1 \le 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{4}\), suy ra \(m =  - 1\) .

Trường hợp 2: \({m^2} - 1 \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  \pm 1\).

Ta có \(\Delta ' = {\left( {m - 1} \right)^2} + 3\left( {{m^2} - 1} \right) = {m^2} - 2m + 1 + 3{m^2} - 3 = 4{m^2} - 2m - 2\).

Để \(y' \le 0\,,\forall x \in \mathbb{R} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 1 < 0\\4{m^2} - 2m - 2 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 1 < m < 1\\ - \frac{1}{2} \le m \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow  - \frac{1}{2} \le m < 1\).

Tổng hợp lại, ta có tất cả giá trị \(m\) cần tìm là \( - \frac{1}{2} \le m \le 1\).

Vì \(m \in \mathbb{Z}\), suy ra \(m \in \left\{ {0\,;1} \right\}\), nên có 2 giá trị nguyên của tham số \(m\).