Cho hàm số y = (− m x^2 + ( 4 m − 2 ) x + 1 − 4 m) /(x − 1) có đồ thị là ( C ) với m là tham số a) Khi m = 1 đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

13/22

PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng hoặc sai.

Cho hàm số $y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4\;m - 2} \right)x + 1 - 4\;m}}{{x - 1}}$ có đồ thị là $\left( C \right)$ với $m$ là tham số

a) Khi $m = 1$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị.

b) Khi $m = 1$ đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$.

c) Khi \[m < - 1\] thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền $x > 0$.

d) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $x - y = 0$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

(a) Đúng: Khi $m = 1$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị

(b) Đúng: Khi $m = 1:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ 1 \right\}$;

$y' = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow y = 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow y = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 \pm } y = \pm \infty :x = 1$là tiệm cận đứng; $\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = - x + 1:y = - x + 1$ là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

$Cho hàm số \(y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4\;m - 2} \r (ảnh 1)$

$x = 0 \Rightarrow y = 3$; $y = 0 \Rightarrow - {x^2} + 2x - 3 = 0$ (vô nghiệm) nên đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$

(c) Đúng: $y = \frac{{ - m{x^2} + \left( {4m - 2} \right)x + 1 - 4m}}{{x - 1}} \Rightarrow y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx - 4m + 2 - 1 + 4m}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$

Suy ra $y' = \frac{{ - m{x^2} + 2mx + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Dấu $y'$ là dấu của tam thức $g\left( x \right) = - m{x^2} + 2mx + 1$

$g\left( x \right){\rm{ c\'o }}\Delta ' = {m^2} + m\,;\,\,g\left( 1 \right) = - m + 2m + 1 = m + 1$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{\Delta ' > 0}\\{m + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.$

Lúc này hàm số đạt cực đại và cực tiểu tại $x = {x_1},x = {x_2}$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{1}{m}}\end{array}} \right.$.

Giả sử ${x_1} < {x_2}$

Theo yêu cầu bài toán: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 0}\\{{x_1} \cdot {x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 > 0{\rm{ (lu\^o n d\'u ng) }}}\\{ - \frac{1}{m} > 0}\end{array} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.} \right.$

Giao với điều kiện $\Delta ' > 0$ được $m < - 1$

(d) Đúng: ${y'_x} = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}$. Đường thẳng $x - y = 0$ có hệ số góc $k = 1$

Để tiếp tuyến của $\left( C \right)$ song song với đường thẳng $y = x$ cần và đủ là ${y'_x} = 1$

$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{ - {x^2} + 2x + 1 = {x^2} - 2x + 1}\end{array}} \right.} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - 4x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.} \right.$

Có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:

$\left( {{T_1}} \right):y = 1\left( {x - 0} \right) + 3 \Leftrightarrow y = x + 3\,;\,\,\left( {{T_2}} \right):y = 1\left( {x - 2} \right) - 3 \Leftrightarrow y = x - 5$