Cho hàm số y = − m x 2 + ( 4 m − 2 ) x + 1 − 4 m x − 1 có đồ thị là ( C ) với m là tham số a) Khi m < − 1 thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền x > 0

14/22

Cho hàm số $y = \frac{{ - m{x^2} + (4\;m - 2)x + 1 - 4\;m}}{{x - 1}}$

a) Khi \[m < - 1\] thì hàm số đạt cực đại và cực tiểu trong miền $x > 0$

b) Khi $m = 1$ đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị

c) Có 2 phương trình tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $x - y = 0$

d) Khi $m = 1$ đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Khi $m = 1:y = \frac{{ - {x^2} + 2x - 3}}{{x - 1}} = - x + 1 - \frac{2}{{x - 1}}$

Tập xác định: $D = \mathbb{R}\backslash \{ 1\} $

${y^\prime } = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 0 \Leftrightarrow - {x^2} + 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1 - \sqrt 2 \Rightarrow y = 2\sqrt 2 }\\{x = 1 + \sqrt 2 \Rightarrow y = - 2\sqrt 2 }\end{array}} \right.$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 1 \pm } y = \pm \infty :x = 1$là tiệm cận đứng

$\mathop {\lim }\limits_{x \to \pm x} y = - x + 1:y = - x + 1$là tiệm cận xiên

Bảng biến thiên:

$Cho hàm số \(y = \frac{{ - m{x^2} + (4\;m - 2)x (ảnh 1)$

$x = 0 \Rightarrow y = 3$

$y = 0 \Rightarrow - {x^2} + 2x - 3 = 0$, đồ thị hàm số không cắt trục $Ox$

$y = \frac{{ - m{x^2} + (4m - 2)x + 1 - 4m}}{{x - 1}} \Rightarrow {y^\prime } = \frac{{ - m{x^2} + 2mx - 4m + 2 - 1 + 4m}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

Suy ra ${y^\prime } = \frac{{ - m{x^2} + 2mx + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

Dấu ${y^\prime }$ là dấu của tam thức $g(x) = - m{x^2} + 2mx + 1$

$\begin{array}{l}g(x){\rm{ c\'o }}{\Delta ^\prime } = {m^2} + m\\g(1) = - m + 2m + 1 = m + 1\end{array}$

Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{\Delta ^\prime } > 0}\\{m + 1 \ne 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m < - 1}\\{m > 0}\end{array}} \right.} \right.$

Lúc này, hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại $x = {x_1},x = {x_2}$ và $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} = 2}\\{{x_1} \cdot {x_2} = - \frac{1}{m}}\end{array}} \right.$.

Giả sử ${x_1} < {x_2}$

Theo yêu cầu bài toán:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} > 0}\\{{x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_1} + {x_2} > 0}\\{{x_1} \cdot {x_2} > 0}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{2 > 0{\rm{ (lu\^o n d\'u ng) }}}\\{ - \frac{1}{m} > 0}\end{array} \Leftrightarrow m < 0} \right.} \right.} \right.$

Giao với điều kiện ${\Delta ^\prime } > 0$ được $m < - 1$

$y_x^\prime = \frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}}$

Đường thẳng $x - y = 0$ có hệ số góc $k = 1$

Để tiếp tuyến của $(C)$ song song với đường thẳng $y = x$, cần và đủ là

$\begin{array}{*{20}{l}}{y_x^\prime = 1}&{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{\frac{{ - {x^2} + 2x + 1}}{{{{(x - 1)}^2}}} = 1}\end{array} \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{ - {x^2} + 2x + 1 = {x^2} - 2x + 1}\end{array}} \right.} \right.}\\{}&{ \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne 1}\\{2{x^2} - 4x = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0 \Rightarrow y = 3}\\{x = 2 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.} \right.}\end{array}$

Có hai tiếp tuyến thỏa yêu cầu bài toán:

$\begin{array}{l}\left( {{T_1}} \right):y = 1(x - 0) + 3 \Leftrightarrow y = x + 3\\\left( {{T_2}} \right):y = 1(x - 2) - 3 \Leftrightarrow y = x - 5\end{array}$