Cho hàm số y = (ln x − 6)/( ln x − 2m ) với m là tham số. Gọi S là tập hợp các giá trị nguyên dương của m để hàm số đồng biến trên khoảng ( 1 ; e ) . Tìm số phần

Xét \(x \in \left( {1;e} \right) \Rightarrow \ln x \in \left( {0;1} \right)\).

Ta có:

\(y' = \frac{{{{\left( {\ln x - 6} \right)}^\prime }\left( {\ln x - 2m} \right) - {{\left( {\ln x - 2m} \right)}^\prime }\left( {\ln x - 6} \right)}}{{{{\left( {\ln x - 2m} \right)}^2}}} = \frac{{ - 2m + 6}}{{{{\left( {\ln x - 2m} \right)}^2}}}.\frac{1}{x}\)

Hàm số đồng biến trên khoảng \[\left( {1;e} \right) \Leftrightarrow y' > 0,\forall x \in \left( {1;e} \right)\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 2m + 6 > 0\\2m\cancel{ \in }\left( {0;1} \right)\end{array} \right.\]\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 3\\m \le 0 \vee m \ge \frac{1}{2}\end{array} \right.\] \[ \Leftrightarrow m \le 0 \vee \frac{1}{2} \le m < 3\].

Vậy \(S = \left\{ {1;2} \right\}\).