Cho hàm số y = g(x) = ln (x - 2}^2(x + 5)(x - 4)(x + 1). Hỏi đồ thị hàm số có bao nhiêu đường tiệm cận (chỉ xét tiệm cận đứng và tiệm cận ngang)?

Lời giải

Đáp án: 3

Tìm điều kiện xác định (Tập xác định):

Hàm số có nghĩa khi biểu thức trong logarit lớn hơn 0: \(\frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} > 0\)

Lập bảng xét dấu, ta tìm được tập xác định của hàm số là: \(D = ( - 5; - 1) \cup (4; + \infty )\)

2. Xét Tiệm cận ngang (TCN):

Dựa vào tập xác định, ta chỉ xét giới hạn khi \(x \to  + \infty \): \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \ln \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}}\)

Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \) nên \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } y =  + \infty \).

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

3. Xét Tiệm cận đứng (TCĐ):

Ta xét giới hạn của hàm số tại các đầu mút của tập xác định \(D\):

·        Tại \(x =  - 5\): Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {5^ + }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} = {0^ + }\) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {5^ + }} y =  - \infty  \Rightarrow {\bf{x}} =  - {\bf{5}}\) là một đường tiệm cận đứng.

·        Tại \(x =  - 1\): Do\(\mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \)\( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to  - {1^ - }} y =  + \infty  \Rightarrow {\bf{x}} =  - {\bf{1}}\) là một đường tiệm cận đứng.

·        Tại \(x = 4\): Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} \frac{{{{(x - 2)}^2}(x + 5)}}{{(x - 4)(x + 1)}} =  + \infty \) \( \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {4^ + }} y =  + \infty  \Rightarrow {\bf{x}} = {\bf{4}}\) là một đường tiệm cận đứng.

(Lưu ý: Tại \(x = 2\), hàm số không xác định và xung quanh \(x = 2\) cũng không thuộc tập xác định nên không tồn tại giới hạn để xét tiệm cận).

Kết luận: Đồ thị hàm số có tổng cộng 3 đường tiệm cận (đều là tiệm cận đứng: \(x =  - 5,x =  - 1,x = 4\)).