Cho hàm số y = f(X) xác định trên R và có đạo hàm f'(x) = (x + 2)(x^2 - 1)(x + 1) với mọi số thực

7/22

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định trên \(\mathbb{R}\) và có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {{x^2} - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\) với mọi số thực. Giá trị cực tiểu của hàm số \(y = f\left( x \right)\) bằng:

\(f\left( 1 \right)\).

\(f\left( { - 1} \right)\).

\(f\left( { - 2} \right)\).

\(f\left( 0 \right)\).

Giải thích

Ta biến đổi đạo hàm: \(f'\left( x \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {x + 1} \right)\left( {x + 1} \right) = \left( {x + 2} \right)\left( {x - 1} \right){\left( {x + 1} \right)^2}\).

Nghiệm của \(f'\left( x \right) = 0\) là \(x = - 2\), \(x = 1\), và \(x = - 1\) (nghiệm bội chẵn).

Xét dấu \(f'\left( x \right)\):

Khi \(x \in \left( { - \infty ; - 2} \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\).

Khi \(x \in \left( { - 2;1} \right)\), \(f'\left( x \right) < 0\) (qua \(x = - 1\) không đổi dấu).

Khi \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\), \(f'\left( x \right) > 0\).

Do qua điểm \(x = 1\), đạo hàm \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ âm \(\left( - \right)\) sang dương \(\left( + \right)\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\). Giá trị cực tiểu tương ứng là \(f\left( 1 \right)\).

Chọn A.