Cho hàm số y = f(x) = | {{x^4} - 2{x^2} + 2m - 3} | Tổng

100/235

Cho hàm số $y = f (x) = |x^{4} - 2 x^{2} + 2 m - 3|$ . Tổng tất cả các giá trị của $m$ để $\max_{[- 1; 0]} f (x) + \min_{[- 1; 0]} f (x) = 3$ là (nhập đáp án vào ô trống):

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Xét hàm số $y = h\left( x \right) = {x^4} - 2{x^2} + 2m - 3$ có $h'\left( x \right) = 4{x^3} - 4x$.

Ta có: $h'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow 4{x^3} - 4x = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = 1\\x = - 1\end{array} \right.$.

Bảng biến thiên:

Ta có$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f(x) = \mathop {\max \left| {h(x)} \right|}\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} = \max \left\{ {\left| {2m - 4} \right|;\left| {2m - 3} \right|} \right\}$. Ta có $h\left( { - 1} \right) = 2m - 4$; \[h\left( 0 \right) = 2m - 3\].

+) Nếu $h\left( { - 1} \right) \cdot h\left( 0 \right) \le 0 \Leftrightarrow \frac{3}{2} \le m \le 2$thì

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\max }\limits_{\left| {\left[ { - 1;0} \right]} \right|} \left| {h\left( x \right)} \right| = \max \left\{ {\left| {2m - 4} \right|;\left| {2m - 3} \right|} \right\}$; $\mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} \left| {h\left( x \right)} \right| = 0$.

Do đó $\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| {2m - 4} \right| = 3\\\left| {2m - 3} \right| = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{7}{2},m = \frac{1}{2}\\m = 3,m = 0\end{array} \right.$.

Đối chiếu điều kiện không có giá trị nào của m thỏa mãn.

+) Nếu $h\left( { - 1} \right) \cdot h\left( 0 \right) > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\m > 2\end{array} \right.$

$\mathop {\max }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) + \mathop {\min }\limits_{\left[ { - 1;0} \right]} f\left( x \right) = 3 \Leftrightarrow \left| {2m - 4} \right| + \left| {2m - 3} \right| = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}m > 2\\2m - 4 + 2m - 3 = 3\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}m < \frac{3}{2}\\4 - 2m + 3 - 2m = 3\end{array} \right.\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{5}{2}\\m = 1\end{array} \right.$.

Vây tổng các giá trị của $m$ bằng $3,5$.

Đáp án cần nhập là: $3,5$.