Cho hàm số y = f(x) = x^3 - 3x + 1 có đồ thị (C).

a) SAI: Giao điểm của \(\left( C \right)\) với trục tung thu được bằng cách thế \(x = 0\), suy ra \(y = {0^3} - 3 \cdot 0 + 1 = 1\). Do đó giao điểm với trục tung là \(\left( {0;1} \right)\), không phải \(M\left( {1;0} \right)\).

b) ĐÚNG: Đạo hàm \(y' = 3{x^2} - 3\). Xét \(y' < 0 \Leftrightarrow 3{x^2} - 3 < 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\). Vậy hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 1;1} \right)\).

c) SAI: Xét phương trình đạo hàm: \(y' = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1\).

Lập bảng biến thiên cho thấy hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

Giá trị cực đại của hàm số là . Do đó giá trị cực đại bằng 3, mệnh đề ghi bằng −1 là sai.

d) SAI: Biến đổi phương trình: \({x^3} - 3x + 2 = 3m - 2 \Leftrightarrow {x^3} - 3x + 1 = 3m - 3\).

Số nghiệm của phương trình bằng số giao điểm của đồ thị \(\left( C \right):y = {x^3} - 3x + 1\) và đường thẳng nằm ngang \(y = 3m - 3\).

Dựa vào hình dáng đồ thị hàm số bậc ba:

• Điểm cực đại là \(\left( { - 1;3} \right)\) và điểm cực tiểu là \(\left( {1; - 1} \right)\) (vì \(y\left( 1 \right) = {1^3} - 3 \cdot 1 + 1 = - 1\)).
• Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt, đường thẳng \(y = 3m - 3\) phải đi qua điểm cực đại hoặc cực tiểu.
  • Trường hợp 1: \(3m - 3 = 3 \Leftrightarrow 3m = 6 \Leftrightarrow m = 2\).
  • Trường hợp 2: \(3m - 3 = - 1 \Leftrightarrow 3m = 2 \Leftrightarrow m = \frac{2}{3}\) (không nguyên).

Như vậy, chỉ có duy nhất 1 giá trị nguyên của \(m\) thỏa mãn (là \(m = 2\)). Mệnh đề phát biểu có 2 giá trị nguyên là sai.