Cho hàm số y = f(x) =(x^2 + 3x + 3)/(x + 2) có đồ thị là đường cong (C)

15/19

Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}}\) có đồ thị là đường cong \((C)\)

a) Hàm số nghịch biến trên khoảng \(\left( { - 3\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).

b) Biết hàm số có 2 điểm cực trị khi đó tổng của giá trị cực đại và giá trị cực tiểu bằng \( - 4\).

c) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là đường thẳng \(y = - x + 1\).

d) Tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

a)Ta có: \(f(x) = \frac{{{x^2} + 3x + 3}}{{x + 2}} = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\).

Tâp xác định: \(D = \mathbb{R}\backslash \{ - 2\} \).

Ta có: \(f'\left( x \right) = \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}}\) ;

\(f'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {x^2} + 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 1 \Rightarrow y = 1}\\{x = - 3 \Rightarrow y = - 3}\end{array}} \right.\).

Khi đó, ta có bảng biến thiên

Ảnh có chứa hàng, biểu đồ, Sơ đồ, Phông chữ Nội dung do AI tạo ra có thể không chính xác.

Từ bảng biến thiên suy ra hàm số nghịch biến trên các khoảng\(\left( { - 3\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\, - 1} \right)\).

b) Dựa vào bảng biến thiên

Ta có:

c) Ta có: \(f\left( x \right) = x + 1 + \frac{1}{{x + 2}}\)

Ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left[ {f\left( x \right) - (x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } \left( {\frac{1}{{x + 2}}} \right) = 0\)

Suy ra \(y = x + 1\) là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

d) Đường thẳng \((d):x - 3y - 6 = 0\) có hệ số góc \({k_1} = \frac{1}{3}\)

\( \Rightarrow \)Tiếp tuyến của (C) vuông góc với đường thẳng \((d)\) có hệ số góc \({k_2} = - 3\)

Xét phương trình \(f'\left( x \right) = - 3\)

\( \Leftrightarrow \frac{{{x^2} + 4x + 3}}{{{{(x + 2)}^2}}} = - 3\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{{x^2} + 4x + 3 = - 3{x^2} - 12x - 12}\end{array}} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x \ne - 2}\\{4{x^2} + 16x + 15 = 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - \frac{5}{2} \Rightarrow y = - \frac{7}{2}}\\{x = - \frac{3}{2} \Rightarrow y = \frac{3}{2}}\end{array}} \right.} \right.\)

Tại \(A\left( { - \frac{5}{2}, - \frac{7}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_1}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{5}{2}} \right) - \frac{7}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 11\)

Tại \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\) có tiếp tuyến \(\left( {{T_2}} \right):y = - 3\left( {x + \frac{3}{2}} \right) + \frac{3}{2} \Leftrightarrow y = - 3x - 3\).

Vậy tiếp tuyến với \((C)\) vuông góc với đường thẳng \(x - 3y - 6 = 0\) đi qua điểm \(B\left( { - \frac{3}{2},\frac{3}{2}} \right)\).

Đáp án: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Đúng.