Cho hàm số y = f(x) thỏa mãn f'(x)

16/235

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) thỏa mãn \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x},\,\,f\left( 0 \right) = 0\) và \(\int {f\left( x \right)} \,{\rm{d}}x = \left( {ax + b} \right){e^x} + c\) với \[a,\,\,b,\,\,c\] là các hằng số. Khẳng định nào dưới đây đúng?

\(a + b = 2.\)

\(a + b = 3.\)

\(a + b = 1.\)

\(a + b = 0.\)

Giải thích

Theo đề: \(f'\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x}\). Nguyên hàm 2 vế ta được

\(\int {f'\left( x \right)} \,dx = \int {\left( {x + 1} \right){e^x}} \,dx \Leftrightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x} - \int {{e^x}} dx\)

\( \Rightarrow f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^x} - {e^x} + C = x{e^x} + C\)

Mà \(f\left( 0 \right) = 0 \Rightarrow 0 \cdot {e^0} + C = 0 \Leftrightarrow C = 0 \Rightarrow f\left( x \right) = x{e^x}\)

\( \Rightarrow \int f \left( x \right)dx = \int x {e^x}dx = x{e^x} - \int {{e^x}} dx = x{e^x} - {e^x} + C = \left( {x - 1} \right){e^x} + C.\)

Suy ra \(a = 1\,;\,\,b = - 1 \Rightarrow a + b = 0.\) Chọn D.