Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm liên tục trên R, thỏa mãn điều kiện f'(x) − 2f(x) = (x + 1)e^(2x) và f(0) = 1. Biết f(2) = a · e^b với a, b ∈ N. Tính a + b.

35/40

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn điều kiện \(f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\) và \(f\left( 0 \right) = 1\). Biết \(f\left( 2 \right) = a \cdot {e^b}\) với \(a,b \in \mathbb{N}\). Tính \(a + b\).

Đáp án: __

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Ta có\(f'\left( x \right) - 2f\left( x \right) = \left( {x + 1} \right){e^{2x}}\)\( \Leftrightarrow {e^{ - 2x}}f'\left( x \right) - 2{e^{ - 2x}}f\left( x \right) = x + 1\)\( \Leftrightarrow {\left( {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right)^\prime } = x + 1,\forall x \in \mathbb{R}\).

Tích phân 2 vế trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), ta được

\(\int\limits_0^2 {{{\left( {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right)}^\prime }dx} = \int\limits_0^2 {\left( {x + 1} \right)dx} \)\( \Leftrightarrow \left. {{e^{ - 2x}} \cdot f\left( x \right)} \right|_0^2 = 4\)\( \Leftrightarrow {e^{ - 4}} \cdot f\left( 2 \right) - 1 = 4\)\( \Leftrightarrow f\left( 2 \right) = 5{e^4}\).

Suy ra \(a = 5;b = 4\). Vậy \(a + b = 9\).

Đáp án cần nhập là: 9.