Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)(x+3) với mọi x thuộc R

39/150

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 1} \right)\left( {x + 3} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m \in \left[ { - 10\,;\,\,20} \right]\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {0\,;\,\,2} \right)?\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \(y' = \left( {2x + 3} \right) \cdot f'\left( {{x^2} + 3x - m} \right)\)

Khi đó \(\left( {2x + 3} \right)\left( {{x^2} + 3x - m - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - m + 3} \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} + 3x - m - 1} \right)\left( {{x^2} + 3x - m + 3} \right) \ge 0\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x^2} + 3x - m \ge 1}\\{{x^2} + 3x - m \le - 3}\end{array}\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \le {x^2} + 3x - 1}\\{m \ge {x^2} + 3x + 3}\end{array}\,,\,\,\forall x \in \left( {0\,;\,\,2} \right)} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le {0^2} + 3 \cdot 0 - 1\\m \ge {2^2} + 3 \cdot 2 + 3\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m \le - 1\\m \ge 13\end{array} \right.\).

Theo đề bài \(m \in \mathbb{Z}\,;\,\,m \in \left[ { - 10\,;\,\,20} \right]\) nên \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 10 \le m \le - 1}\\{13 \le m \le 20}\end{array} \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m \in \left\{ { - 10\,;\,\, - 9\,;\,\, - 8\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 1} \right\}}\\{m \in \left\{ {13\,;\,\,14\,;\,\,15\,;\,\, \ldots \,;\,\,20} \right\}}\end{array}} \right.} \right.\)

Đáp án: 18.