Cho hàm số y - f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-1)^4 (x-m)^5 (x+3)^3 với mọi x thuộc R

38/150

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^4}{\left( {x - m} \right)^5}{\left( {x + 3} \right)^3}\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu số nguyên \[m \in \left( { - \infty \,;\,\,5} \right]\] để hàm số \[g\left( x \right) = f\left( {\left| x \right|} \right)\] có 3 điểm cực trị?

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Yêu cầu bài toán trở thành: \(f\left( x \right)\) có đúng 1 điểm cực trị dương.

Xét \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^4}{\left( {x - m} \right)^5}{\left( {x + 3} \right)^3} = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{x = m}\\{x = - 3}\end{array}} \right.\)

• TH1: \(m = 1\) suy ra \(f'\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^9}{\left( {x + 3} \right)^3}\).

Do đó hàm số \(f\left( x \right)\) có 1 điểm cực trị dương là \(x = 1.\)

• TH2: \(m \ne 1\) suy ra \(f'\left( x \right)\) loại nghiệm \(x = 1\) (nghiệm bội chẵn)

Và loại nghiệm \(x = - 3\) (nghiệm âm) nên \(x = m > 0.\)

Vậy \(0 < m \le 5\) và nên suy ra \(m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4\,;\,\,5} \right\}.\) Đáp án: 5.