Cho hàm số y = f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d có đồ thị của đạo hàm là một parabol như hình bên dưới.Tìm giá trị cực đại của hàm số y = f(x) biết

Đạo hàm của hàm số bậc ba là một hàm số bậc hai có dạng: \(f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\).

Vì đồ thị đạo hàm cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ \(x = - 1\) và \(x = 2\), nên phương trình đạo hàm có dạng: \(f'\left( x \right) = k\left( {x + 1} \right)\left( {x - 2} \right) = k\left( {{x^2} - x - 2} \right)\).

Mặt khác, đồ thị \(f'\left( x \right)\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0; - 2} \right)\), suy ra: \(f'\left( 0 \right) = - 2 \Rightarrow - 2k = - 2 \Rightarrow k = 1\).

Do đó: \(f'\left( x \right) = {x^2} - x - 2\). Đồng nhất hệ số ta được \(\left\{ \begin{array}{l}3a = 1\\2b = - 1\\c = - 2\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = \frac{1}{3}\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}b = - \frac{1}{2}\\c = - 2\end{array}\end{array}} \right.\).

Theo đề bài \(f\left( 0 \right) = \frac{{13}}{6} \Rightarrow d = \frac{{13}}{6}\).

Như vậy \(f\left( x \right) = \frac{1}{3}{x^3} - \frac{1}{2}{x^2} - 2x + \frac{{13}}{6}\).

Từ đồ thị ta thấy \(f'\left( x \right)\) đổi dấu từ dương sang âm khi qua điểm \(x = - 1\). Do đó hàm số đạt cực đại tại \(x = - 1\).

Giá trị cực đại của hàm số là \(f\left( { - 1} \right)\): \(f\left( { - 1} \right) = \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^3}}}{3} - \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^2}}}{2} - 2 \cdot \left( { - 1} \right) + \frac{{13}}{6} = \frac{{10}}{3} \approx 3,33\).

Kết quả: 3,33.