Cho hàm số y = f(x) = (ax^2 + bx + c)/(x + d) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây, biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm
8/25
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có đồ thị là đường cong trong hình vẽ dưới đây, biết đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( {1\,;\,0} \right)\).
1. Hàm số đồng biến trên khoảng \(\left( { - 4\,;\,0} \right)\).
2. Ta có \(a + b + c + d = - 2\).
3. Khoảng cách từ \(M\left( {1\,;\, - 8} \right)\) đến đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số là \(\sqrt 5 \).
4. Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ 2 \right\}\).
1. Sai. Từ đồ thị ta thấy hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng \(\left( { - 4\,;\, - 2} \right)\) và \(\left( { - 2\,;\,0} \right)\).
2. Đúng. Đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{a{x^2} + bx + c}}{{x + d}}\) có tiệm cận đứng là đường thẳng \(x = - 2\) nên \(d = 2.\)
Đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua hai điểm \(\left( {0\,;\,1} \right)\) và \(\left( {1\,;\,0} \right)\) nên có phương trình là \(y = - x + 1\). Từ đó suy ra \(a = - 1\). Khi đó, \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} + bx + c}}{{x + 2}}\).
Ta thấy đồ thị hàm số đã cho đi qua các điểm \(\left( {0\,;\, - 1} \right)\) và \(\left( { - 4\,;\,7} \right)\) nên ta có
\(\left\{ \begin{array}{l}\frac{c}{2} = - 1\\\frac{{ - 16 - 4b + c}}{{ - 2}} = 7\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = - 2\\b = - 1\end{array} \right.\). Suy ra \(a + b + c + d = - 2\).
3. Đúng. Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là \(A\left( {0\,;\, - 1} \right)\) và \(B\left( { - 4\,;\,7} \right)\).
Phương trình đường thẳng \(AB\): \(2x + y + 1 = 0\). Ta có \(d\left( {M,AB} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot 1 - 8 + 1} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2}} }} = \sqrt 5 \).
4. Sai. Từ ý b), suy ra \(y = f\left( x \right) = \frac{{ - {x^2} - x - 2}}{{x + 2}}\). Vậy tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2} \right\}\).