Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây
15/22
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị là đường cong trong hình dưới đây. Gọi \(\left( H \right)\) là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 1,x = 4\). Khi đó:
a) Diện tích \(S\) của hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
b) Diện tích \(S\) của hình phẳng \(\left( H \right)\) là \(S = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} + \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
c) Nếu \(F\left( x \right)\) là một nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right)\) thì \(F\left( 1 \right) > F\left( { - 1} \right) > F\left( 4 \right)\).
d) Thể tích vật thể được tạo thành khi quay \(\left( H \right)\) quanh trục hoành là \(V = \int\limits_{ - 1}^4 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} \).
Ta có \(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \). Từ đồ thị, ta có:
\(S = \int\limits_{ - 1}^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} + \int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \)\( = \int\limits_{ - 1}^1 {f\left( x \right){\rm{d}}x} - \int\limits_1^4 {f\left( x \right){\rm{d}}x} \).
Ta có “diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = 1,x = 4\)” lớn hơn “diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\), trục hoành và các đường thẳng \(x = - 1,x = 1\)”.
Do đó \(\int\limits_1^4 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} > \int\limits_{ - 1}^1 {\left| {f\left( x \right)} \right|{\rm{d}}x} \).
Suy ra \(\left| {\left. {F\left( x \right)} \right|_1^4} \right| > \left| {\left. {F\left( x \right)} \right|_{ - 1}^1} \right|\), suy ra \(F\left( 1 \right) - F\left( 4 \right) > F\left( 1 \right) - F\left( { - 1} \right)\)\( \Rightarrow F\left( { - 1} \right) > F\left( 4 \right)\) (1)
Mà \(F\left( x \right)\) đồng biến trên \(\left( { - 1;1} \right)\), nghịch biến trên \(\left( {1;4} \right)\), do đó \(F\left( 1 \right) > F\left( { - 1} \right)\) (2).
Từ (1) và (2) suy ra \(F\left( 1 \right) > F\left( { - 1} \right) > F\left( 4 \right)\).
Ta có \(V = \pi \int\limits_{ - 1}^1 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} + \pi \int\limits_1^4 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x = \pi \int\limits_{ - 1}^4 {{{\left[ {f\left( x \right)} \right]}^2}{\rm{d}}x} } \).
Đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai.