Cho hàm số y = f( x ) xác định và liên tục trên ( 0; + vô cùng) sao cho x^2 + xf( e^x) + f( e^x) = 1; với mọi x ( 0; + vô cùng) . Giá trị của I = limit căn bậc hai của e^e f( x ).ln x/xdx là

39/70

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) xác định và liên tục trên \(\left( {0; + \infty } \right)\) sao cho \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1;\) với mọi \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) . Giá trị của \(I = \int\limits_{\sqrt e }^e {\frac{{f\left( x \right).\ln x}}{x}dx} \) là

\(I = - \frac{1}{8}.\)

\(I = - \frac{2}{3}.\)

\(I = \frac{1}{{12}}.\)

\(I = \frac{3}{8}.\)

Giải thích

Hướng dẫn giải

Với \(x \in \left( {0; + \infty } \right)\) ta có \({x^2} + xf\left( {{e^x}} \right) + f\left( {{e^x}} \right) = 1 \Rightarrow f\left( {{e^x}} \right) = \frac{{1 - {x^2}}}{{1 + x}} = 1 - x.\)

Đặt \(\ln x = t \Leftrightarrow x = {e^t} \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)

Đổi cận \(x = \sqrt e \Rightarrow t = \frac{1}{2};x = e \Rightarrow t = 1.\)

Khi đó \(I = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t.f\left( {{e^t}} \right)dt} = \int\limits_{\frac{1}{2}}^1 {t\left( {1 - t} \right)dt} = \frac{1}{{12}}.\)

Chọn C.