Cho hàm số y = f ( x ) = x + ln (x − 2) .

a) Điều kiện xác định khi \[x - 2 > 0 \Leftrightarrow x > 2\]. Vậy tập xác định là \[D = (2; + \infty )\].

Mệnh đề a) Sai.

b) Ta có \[f'(x) = 1 + \frac{1}{{x - 2}} = \frac{{x - 2 + 1}}{{x - 2}} = \frac{{x - 1}}{{x - 2}}\].

Với mọi \[x \in D = (2; + \infty )\], ta có \[x - 1 > 0\] và \[x - 2 > 0 \Rightarrow f'(x) > 0\].

Vì \[f'(x)\] không đổi dấu trên D, hàm số đồng biến trên toàn bộ tập xác định và không có cực trị.

Mệnh đề b) Sai.

c) Tung độ tiếp điểm: \[{y_0} = f(3) = 3 + \ln (3 - 2) = 3 + \ln (1) = 3\].

Hệ số góc tiếp tuyến: \[k = f'(3) = \frac{{3 - 1}}{{3 - 2}} = \frac{2}{1} = 2\].

Phương trình tiếp tuyến: \[y = f'({x_0})(x - {x_0}) + {y_0} = 2(x - 3) + 3 = 2x - 6 + 3 = 2x - 3\].

Mệnh đề c) Đúng.

d) \[x + \ln (x - 2) < x + 5 \Leftrightarrow \ln (x - 2) < 5 \Leftrightarrow x - 2 < {e^5} \Leftrightarrow x < {e^5} + 2\]

Kết hợp với điều kiện xác định \[x > 2\]ta có \[2 < x < {e^5} + 2\].

Vậy \[2 < x < 150,41\]. Các nghiệm nguyên của bất phương trình là \[x \in \{ 3,4,5, \ldots ,150\} \]

Tổng các nghiệm nguyên là: \[S = \frac{{148.(3 + 150)}}{2} = 74.153 = 11322\].

Mệnh đề d) Đúng.

Kết luận: a) Sai b) Sai c) Đúng d) Đúng