Cho hàm số y = f ( x ) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn [ a ; b ] . Cho tấm phẳng T có mật độ đều và chiếm một miền R được giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng x = a , x
99/100
Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Cho tấm phẳng T có mật độ đều và chiếm một miền \(R\) được giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Trọng tâm của T là điểm \(C\left( {\overline x ;\overline y } \right)\) có tọa độ được xác định bởi công thức:
\(\overline x = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {xf\left( x \right){\rm{d}}x} ,\) \(\overline {\rm{y}} = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {\frac{1}{2}{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \)
với \(A\) là diện tích của miền \(R\).
Cho tấm phẳng \({\rm{T}}\) có dạng hình bán nguyệt như hình dưới đây có bán kính bằng \(6\pi \) (đơn vị), \(AB\) là đường kính, \(O\) là trung điểm của \(AB\) và \(IO\) vuông góc với \(AB\) tại \(O\).
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Cho tấm phẳng T có mật độ đều và chiếm một miền \(R\) được giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Trọng tâm của T là điểm \(C\left( {\overline x ;\overline y } \right)\) có tọa độ được xác định bởi công thức: \(\overline x = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {xf\left( x \right){\rm{d}}x} ,\) \(\overline {\rm{y}} = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {\frac{1}{2}{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \) với \(A\) là diện tích của miền \(R\). Cho tấm phẳng \({\rm{T}}\) có dạng hình bán nguyệt như hình dưới đây có bán kính bằng \(6\pi \) (đơn vị), \(AB\) là đường kính, \(O\) là trung điểm của \(AB\) và \(IO\) vuông góc với \(AB\) tại \(O\). (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid18-1729827342.png)
Kéo số thích hợp ở các ô vuông thả vào vị trí thích hợp trong các câu sau:
![Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục và nhận giá trị không âm trên đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Cho tấm phẳng T có mật độ đều và chiếm một miền \(R\) được giới hạn bởi trục hoành, hai đường thẳng \(x = a,x = b\) và đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\). Trọng tâm của T là điểm \(C\left( {\overline x ;\overline y } \right)\) có tọa độ được xác định bởi công thức: \(\overline x = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {xf\left( x \right){\rm{d}}x} ,\) \(\overline {\rm{y}} = \frac{1}{A}\int\limits_a^b {\frac{1}{2}{f^2}\left( x \right){\rm{d}}x} \) với \(A\) là diện tích của miền \(R\). Cho tấm phẳng \({\rm{T}}\) có dạng hình bán nguyệt như hình dưới đây có bán kính bằng \(6\pi \) (đơn vị), \(AB\) là đường kính, \(O\) là trung điểm của \(AB\) và \(IO\) vuông góc với \(AB\) tại \(O\). (ảnh 2)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2024/10/blobid17-1729827328.png)
1) Diện tích của tấm phẳng \({\rm{T}}\) là _______ (đơn vị diện tích).
2) Trọng tâm của T nằm trên đoạn thẳng _______.
3) Khoảng cách từ trọng tâm đến \({\rm{O}}\) là _______ (đơn vị độ dài).
Đáp án
1) Diện tích của tấm phẳng \({\rm{T}}\) là \(18{\pi ^3}\) (đơn vị diện tích).
2) Trọng tâm của T nằm trên đoạn thẳng IO.
3) Khoảng cách từ trọng tâm đến \({\rm{O}}\) là 8 (đơn vị độ dài).
Giải thích
Lí do lựa chọn phương án
| Vị trí thả 1 | Diện tích hình bán nguyệt là \(A = \frac{1}{2}\pi {r^2} = 18{\pi ^3}\) (đơn vị diện tích). |
Vị trí thả 2
| Đưa hình bán nguyệt lên mặt phẳng tọa độ có \({\rm{O}}\) trùng gốc tọa tọa độ, Oy trùng với \({\rm{AB}},{\rm{Ox}}\) trùng với OI. Khi đó cung \({\rm{AB}}\) có phương trình là \(y = \sqrt {{r^2} - {x^2}} \). Vận dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm ta có: \(\overline x = \frac{1}{A}\int\limits_{ - r}^r {xf\left( x \right)dx = 0} \) Nên trọng tâm của T nằm trên IO. | |
Vị trí thả 3
| Vận dụng công thức xác định tọa độ trọng tâm ta có: \(\overline y = \frac{1}{A}\int\limits_{ - r}^r {\frac{1}{2}{f^2}\left( x \right)dx} = \frac{{4r}}{{3\pi }} = 8\) (đơn vị độ dài) Nên khoảng cách từ trọng tâm đến O bằng 8 đơn vị độ dài. |