Cho hàm số y = f ( x ) , đạo hàm y = f ′ ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ − 10 ; 10 ] để hàm số g ( x ) = 2 m x − f ( 2 x − 2 ) đồn

\(g\left( x \right) = 2mx - f\left( {2x - 2} \right)\)

Có \(g'\left( x \right) = 2m - 2 \cdot f'\left( {2x - 2} \right)\)

Hàm số \(g\left( x \right) = 2mx - f\left( {2x - 2} \right)\) đồng biến trên khoảng \(\left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow g'\left( x \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right) \Leftrightarrow 2m - 2f'\left( {2x - 2} \right) \ge 0,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\)

\( \Leftrightarrow f'\left( {2x - 2} \right) \le m,\forall x \in \left( {1; + \infty } \right)\).

Đặt \(t = 2x - 2\). Vì \(x \in \left( {1; + \infty } \right)\) nên \(t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Xét hàm số \(f'\left( t \right)\) trên khoảng \(\left( {0; + \infty } \right)\)

Theo hình vẽ đề cho, ta có \(f'\left( x \right) \le 2\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow f'\left( t \right) \le 2\forall t \in \left( {0; + \infty } \right)\).

Do đó \(f'\left( t \right) \le m,\forall t \in \left( {0; + \infty } \right) \Rightarrow m \ge 2\).

Mà \(m\) là số nguyên thuộc đoạn \(\left[ { - 10;10} \right]\) nên có 9 giá trị của tham số \(m\) thỏa yêu cầu bài toán.

Đáp án cần nhập là: \(9\).