Cho hàm số y = f ( x ) , biết rằng f ′ ( x ) = 4/( 1 + cos 2x) ∀ x ∈ ( − pi 2 ; pi/ 2 ) và f ( pi/ 4 ) = 1 .

27/50

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\), biết rằng \(f'\left( x \right) = \frac{4}{{1 + {\rm{cos}}2x}}\forall x \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\) và \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1\). Biết giá trị của tích phân \(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\left( {f\left( x \right) + 2} \right) \cdot {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x} \right)dx} = \frac{{\pi + a}}{b}\), với \(a,b\) là các số tự nhiên. Tính giá trị của biểu thức \(S = a - b\)(nhập đáp án vào ô trống).

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Có \(f'\left( x \right) = \frac{4}{{1 + {\rm{cos}}2x}} = \frac{4}{{2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} = \frac{2}{{{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}x}} \Rightarrow f\left( x \right) = 2{\rm{tan}}x + C\,\,\forall x \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\).

Cho \(f\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 1 \Rightarrow 2{\rm{tan}}\frac{\pi }{4} + C = 1 \Leftrightarrow C = - 1 \Rightarrow f\left( x \right) = 2{\rm{tan}}x - 1\,\,\forall x \in \left( {\frac{{ - \pi }}{2};\frac{\pi }{2}} \right)\)

Khi đó, ta có:

\(I = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\tan x - 1 + 2} \right)} \cdot {\cos ^2}xdx = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {2\sin x\cos x + {{\cos }^2}x} \right)} dx\)

\( = \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\sin 2xdx} + \int\limits_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}} dx\)

\( = \left. {\left[ { - \frac{1}{2}{\rm{cos}}2x + \left( {\frac{x}{2} + \frac{1}{4}{\rm{sin}}2x} \right)} \right]} \right|_{ - \frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{4}} = \frac{{\pi + 2}}{4}\).

Vậy \(I = \frac{{\pi + 2}}{4}\). Suy ra \(a = 2;b = 4\). Vậy \(a - b = - 2\).

Đáp án cần nhập là: \( - 2\).