Cho hàm số y = f ( x ) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d
16/21
Cho hàm số \(y = f\left( x \right) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) có đồ thị \(\left( C \right)\). Biết \(y = f'\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ và tâm đối xứng của đồ thị \(\left( C \right)\) thuộc trục hoành. Tính khoảng cách giữa hai điểm cực trị của đồ thị \(\left( C \right)\). (Quy tròn kết quả đến hàng phần trăm).
Parabol \(y' = f'\left( x \right) = 3a{x^2} + 2bx + c\) có đỉnh \(\left( {2;\,\, - 1} \right)\) và đi qua \(O\left( {0;\,\,0} \right)\) nên ta có hệ phương trình
\[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - \frac{{2b}}{{6a}} = 2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\\begin{array}{l}12a + 4b + c = - 1\\c = 0\end{array}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}\begin{array}{l}a = \frac{1}{{12}}\\b = - \frac{1}{2}\end{array}\\{c = 0\,\,\,\,\,}\end{array}} \right.\].
Tâm đối xứng của \(\left( C \right)\) thuộc trục hoành nên suy ra tâm đối xứng có toạ độ \(\left( {2;\,\,0} \right)\).
Do đó \(\frac{{{2^3}}}{{12}} - \frac{{{2^2}}}{2} + d = 0 \Leftrightarrow d = \frac{4}{3}\).
Khi đó, đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{{12}} - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{4}{3}\) có hai điểm cực trị là \(A\left( {0;\,\,\frac{4}{3}} \right)\) và \(B\left( {4;\,\, - \frac{4}{3}} \right)\).
Vậy \(AB = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - \frac{8}{3}} \right)}^2}} = \frac{{4\sqrt {13} }}{3} \approx 4,81\).
Đáp án:4,81.