Cho hàm số y = a^x, y = logb x có đồ thị là (C1); (C2) như hình vẽ bên dưới
28/150
Cho hàm số \(y = {a^x},\,\,y = {\log _b}x\) có đồ thị là \(\left( {{C_1}} \right),\,\,\left( {{C_2}} \right)\) như hình vē bên dưới. Đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\) cắt \(\left( {{C_1}} \right)\), trục \(Oy,\,\,\left( {{C_2}} \right)\) lần lượt tại \[M,\,\,H,\,\,N.\] Biết \(HN = 3HM\) và hình chữ nhật \[MNPQ\] có diện tích bằng 2. Tính giá trị của biểu thức \({a^2} + {b^2}.\)
85
80
83
84
Ta có \(OH = \frac{1}{2} \Rightarrow {S_{MNPQ}} = OH \cdot MN = \frac{1}{2}MN = 2 \Leftrightarrow MN = 4.\)
Mà \(HN = 3HM\) nên \(HN = 3,\,\,HM = 1.\)
Lại có \[M,\,\,N\] đều nằm trên đường thẳng \(y = \frac{1}{2}\).
Suy ra toạ độ của hai điểm \[M,\,\,N\] là \[M\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\] và \(N\left( {3\,;\,\,\frac{1}{2}} \right).\)
• \(M \in \left( {{C_1}} \right):y = {a^x} \Rightarrow \frac{1}{2} = {a^{ - 1}} \Leftrightarrow a = 2.\)
• \(N \in \left( {{C_2}} \right):y = {\log _b}x \Rightarrow \frac{1}{2} = {\log _b}3 \Leftrightarrow b = 9.\)
Vậy \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {9^2} = 85.\) Chọn A.