Cho hàm số y = 1/2x^2.

a) Xét hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) có hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên hàm số đồng biến khi \(x > 0\), nghịch biến khi \(x < 0\) và đồ thị của hàm số là parabol có bề lõm quay lên trên.

Ta có bảng giá trị:

\(x\)	\( - 4\)	\( - 2\)	0	2	4
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\)	8	2	0	2	8

Vậy đồ thị hàm số \(\left( P \right):y = \frac{1}{2}{x^2}\) là parabol nhận trục \(Oy\) làm trục đối xứng và đi qua các điểm \(\left( { - 4;8} \right),\left( { - 2;2} \right),\left( {0;0} \right),\left( {2;2} \right),\left( {4;8} \right)\).

Đồ thị hàm số:

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và đường thẳng \(y = 8\) ta có:

\(\frac{1}{2}{x^2} = 8 \Leftrightarrow x = 16\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x =  - 4}\end{array}} \right.\)

Với \(x = 4 \Rightarrow A\left( { - 4;8} \right)\);

Với \(x =  - 4 \Rightarrow B\left( {4;8} \right)\) (do \(B\) có hoành độ dương).

Gọi \(K\) là giao điểm của đường thẳng \(y = 8\) với trục tung \( \Rightarrow K\left( {0;8} \right)\)

Ta có: \(\Delta AOB\) cân tại \(O\), có \(OK \bot AB,OK = 8{\rm{\;cm}},AB = 8{\rm{\;cm}}\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}OK.AB = \frac{1}{2}.8.8 = 32\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Áp dụng định lý Pytago cho \(\Delta OBK\) vuông tại \(K\) ta có:

\(OB = \sqrt {O{K^2} + K{B^2}}  = \sqrt {{8^2} + {4^2}}  = 4\sqrt 5 \left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Lại có: \({S_{\Delta OAB}} = \frac{1}{2}AH.OB = \frac{1}{2}.AH.4\sqrt 5  = 32 \Leftrightarrow AH = \frac{{16\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

Áp dụng định lý Pytago vào \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\) ta có:

\(BH = \sqrt {A{B^2} - A{H^2}}  = \sqrt {{8^2} - {{\left( {\frac{{16\sqrt 5 }}{5}} \right)}^2}}  = \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\left( {{\rm{cm}}} \right)\)

\( \Rightarrow {S_{\Delta ABH}} = \frac{1}{2}AH.BH\)\( = \frac{1}{2} \cdot \frac{{16\sqrt 5 }}{5} \cdot \frac{{8\sqrt 5 }}{5}\)\( = \frac{{64}}{5} = 12,8\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Vậy diện tích tam giác \(ABH\) là \(12,8{\rm{\;c}}{{\rm{m}}^2}\).