Cho hàm số y = 1/2 x ^2 có đồ thị (P)

2/5

Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) có đồ thị \(({\rm{P}})\).

a) Vẽ đồ thị (P).

b) Đường thằng \({\rm{y}} = - {\rm{x}} + {\rm{b}}\) (với \({\rm{b}} > 0\) ) lần lượt cắt các tia \({\rm{Ox}},{\rm{Oy}}\) tại \({\rm{E}},{\rm{F}}\). Chứng minh rằng tam giác \({\rm{OEF}}\) vuông cân và tìm \({\rm{b}}\) đề tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác \({\rm{OEF}}\) là một điểm thuộc \(({\rm{P}})\), với \({\rm{O}}\) là gốc tọa độ.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Cho hàm số \({\rm{y}} = \frac{1}{2}{{\rm{x}}^2}\) có đồ thị \(({\rm{P}})\).

a) Vẽ đồ thị (P).

Ta có bảng giá trị sau:

\(x\)	\( - 2\)	\( - 1\)	\(0\)	\(1\)	\(2\)
\(y = \frac{1}{2}{x^2}\)	\(2\)	\(\frac{1}{2}\)	\(0\)	\(\frac{1}{2}\)	\(2\)

\( \Rightarrow \) Đồ thị hàm số là đường cong parabol đi qua các điểm

\(O\,\left( {0\,;\,\,0} \right)\,;\,\,A\,\left( { - 2\,;\,\,2} \right)\,;\,\,\,B\,\left( { - 1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\,\,;\,\,\,C\,\,\left( {1\,;\,\,\frac{1}{2}} \right)\,\,;\,\,D\,\left( {2\,;\,\,2} \right)\)

Hệ số \(a = \frac{1}{2} > 0\) nên parabol có bề cong hướng xuống. Đồ thị hàm số nhận \({\rm{Oy}}\) làm trục đối xứng.

Ta vẽ được đồ thị hàm số \(y = \frac{1}{2}{x^2}\) như sau:

Cho hàm số y = 1/2 x ^2 có đồ thị (P) (ảnh 1)

a) Đường thẳng \(y = - x + b\) (với \(b > 0\)) lần lượt cắt \[Ox,\]\[Oy\] tại \(E\,,\,\,F\). Chứng minh rằng tam giác \(OEF\)vuông cân và tìm \(b\) để tâm đuờng tròn ngoại tiếp tam giác \[OEF\] là gốc tọa độ.

Cho \(y = 0 \Rightarrow - x + b = 0 \Leftrightarrow x = b\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt \({\rm{Ox}}\) tại \({\rm{E}}({\rm{b}};0)\).

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 0 + b = b\)

\( \Rightarrow \) Đường thẳng \(y = - x + b\) cắt \({\rm{Oy}}\) tại \({\rm{F}}(0;{\rm{b}})\).

Xét \(\Delta OEF\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{OE \bot OF\,\,\,\left( {{\rm{do }}Ox \bot Oy} \right)}\\{OE = OF = b\,\,\,\left( {{\rm{do }}b > 0} \right)}\end{array} \Rightarrow \Delta OEF} \right.\) vuông cân tại \({\rm{O}}\).

\( \Rightarrow \) Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là trung điểm cạnh huyền \[EF\].

Gọi tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta OEF\) là \(H\).

Gọi \(M,\,\,N\) lần lượt là hình chiếu của \(H\) lên \(Ox\,,\,\,Oy\).

Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{HM \bot Ox}\\{OF \bot Ox}\end{array} \Rightarrow HM\,{\rm{//}}\,OF} \right.\) (từ vuông góc đến song song).

Mà \(H\) là trung điểm của \(EF\)\( \Rightarrow M\) là trung điểm của \(OE\) (Tính chất đường trung bình của tam giác).

\( \Rightarrow HM\) là đường trung bình của tam giác \(OEF \Rightarrow HM = \frac{1}{2}OF = \frac{b}{2}\).

Chứng minh tương tự ta tính được \(HN = \frac{b}{2}\)\( \Rightarrow H\left( {\frac{b}{2};\frac{b}{2}} \right)\)

Để tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(OEF\) là một điểm thuộc \(({\rm{P}}) \Leftrightarrow H\left( {\frac{b}{2};\frac{b}{2}} \right) \in (P)\).

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{1}{2} \cdot {\left( {\frac{b}{2}} \right)^2} \Leftrightarrow \frac{b}{2} = \frac{{{b^2}}}{8} \Leftrightarrow {b^2} - 4b = 0\\ \Leftrightarrow b\left( {b - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}b = 0\,\,\,(L)\\b = 4\,\,(TM)\end{array} \right.\,\,\end{array}\]

Vậy \(b = 4\) là giá trị cần tìm.