Cho hàm số -x^3 + mx^2 - x - 4m có đồ thị (Cm) và A là điểm cố định có hoành độ

Gọi \(A\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) với \({x_0} < 0\) là điểm cố định cần tìm.

\( \Rightarrow {y_0} =  - x_0^3 + mx_0^2 - {x_0} - 4m,\forall m \Leftrightarrow \left( {x_0^2 - 4} \right)m - x_0^3 - {x_0} - {y_0} = 0,\,\,\forall m\)

\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x_0^2 - 4 = 0}\\{ - x_0^3 - {x_0} - {y_0} = 0}\end{array}} \right.\)\[ \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{x_0} =  - 2\left( {{\rm{ v\`i  }}{x_0} < 0} \right)}\\{{y_0} = 10}\end{array} \Rightarrow A\left( { - 2\,;\,\,10} \right).} \right.\]

Ta có \[y' =  - 3{x^2} + 2mx - 1 \Rightarrow y'\left( { - 2} \right) =  - 4m - 13.\]

Phương trình tiếp tuyến của \(\left( {{C_m}} \right)\) tại \[A\left( { - 2\,;\,\,10} \right)\] là

\(y = \left( { - 4m - 13} \right)\left( {x + 2} \right) + 10\) hay \(\left( \Delta  \right):y = \left( { - 4m - 13} \right)x - 8m - 16.\)

Đường phân giác góc phần tư thứ nhất có phương trình \(d:y = x.\)

Vì \(\Delta  \bot d \Leftrightarrow  - 4m - 13 =  - 1 \Leftrightarrow m =  - 3.\) Đáp án: −3.