Cho hàm số g(x) = sinx + cosx.

14/21

Cho hàm số \(g\left( x \right) = {\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x\).

\(g\left( x \right) = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right),\forall x \in \mathbb{R}\).

ĐúngSai

Với \(\forall x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right)\) thì \(g\left( x \right) < 0\).

ĐúngSai

Phương trình \(g\left( x \right) = 0\) có 2 nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\).

ĐúngSai

Giá trị lớn nhất của hàm số \(g\left( x \right)\) bằng 2.

ĐúngSai

Giải thích

a) ĐÚNG: \({\rm{sin}}x + {\rm{cos}}x = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}{\rm{sin}}x + \frac{{\sqrt 2 }}{2}{\rm{cos}}x} \right) = \sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\).

b) ĐÚNG: Khi \(x \in \left( {\pi ;\frac{{3\pi }}{2}} \right) \Rightarrow x + \frac{\pi }{4} \in \left( {\frac{{5\pi }}{4};\frac{{7\pi }}{4}} \right)\). Ở góc phần tư này, hàm số sin luôn nhận giá trị âm, suy ra \(\sqrt 2 {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) < 0\).

c) ĐÚNG: Phương trình \(g\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow {\rm{sin}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi \,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Các nghiệm thuộc đoạn \(\left[ {0;2\pi } \right]\) ứng với \(k = 1 \Rightarrow x = \frac{{3\pi }}{4}\) và \(k = 2 \Rightarrow x = \frac{{7\pi }}{4}\) (tổng cộng có đúng 2 nghiệm).

d) SAI: Vì tập giá trị của hàm số sin nằm trong \(\left[ { - 1;1} \right]\) nên giá trị lớn nhất của \(g\left( x \right)\) phải là \(\sqrt 2 \cdot 1 = \sqrt 2 \), không phải bằng 2.