Cho hàm số F(x) xác định và liên tục trên R thỏa mãn 2 tích phân f(x)dx + x^3/3 = tích phân f^2(x)dx+x+C

8/150

Cho hàm số \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(\mathbb{R}\) thỏa mãn \(2\int f \left( x \right){\rm{d}}x + \frac{{{x^3}}}{3} = \int {{f^2}} \left( x \right){\rm{d}}x + x + C\) với \(C\) là hằng số. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y = f\left( x \right),\,\,y = 1,\,\,x = 0,\,\,x = 2\) bằng

Giải thích

Lấy đạo hàm hai vế của giả thiết, ta được \(2f\left( x \right) + {x^2} = {f^2}\left( x \right) + 1\)

\( \Leftrightarrow {f^2}\left( x \right) - 2f\left( x \right) + 1 = {x^2} \Leftrightarrow {\left[ {f\left( x \right) - 1} \right]^2} = {x^2} \Leftrightarrow \left| {f\left( x \right) - 1} \right| = \left| x \right|.\)

Diện tích hình phẳng cần tính là .\[S = \int\limits_0^2 {\left| {f\left( x \right) - 1} \right|{\rm{d}}x} = \int\limits_0^2 {\left| x \right|{\rm{d}}x} = 2.\] Chọn B.