Cho hàm số f(x) xác định trên ( 0 ; + ∞ ) bởi f ( x ) = 1 x . Đạo hàm của f(x) tại x 0 = √ 2 là

12/30

Cho hàm số f(x) xác định trên \[\left( {0; + \infty } \right)\] bởi \[{\rm{f}}\left( {\rm{x}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{\rm{x}}}\]. Đạo hàm của f(x) tại \[{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ = }}\sqrt {\rm{2}} \] là

\(\frac{1}{2}\)

\( - \frac{1}{2}\)

\[\frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

\[ - \frac{1}{{\sqrt 2 }}\]

Giải thích

Giả sử \[{\rm{\Delta x}}\] là số gia của đối số tại \[{x_0}\]

Ta có \[{\rm{\Delta y = f}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ + \Delta x}}} \right) - {\rm{f}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right){\rm{ = }}\frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ + \Delta x}}}} - \frac{{\rm{1}}}{{{{\rm{x}}_{\rm{0}}}}}{\rm{ = }} - \frac{{{\rm{\Delta x}}}}{{{{\rm{x}}_{\rm{0}}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}{\rm{ + \Delta x}}} \right)}}\]

\[\mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta x}} \to 0} \frac{{{\rm{\Delta y}}}}{{{\rm{\Delta x}}}} = \mathop {\lim }\limits_{{\rm{\Delta x}} \to 0} \left( { - \frac{1}{{{{\rm{x}}_0}\left( {{{\rm{x}}_0} + {\rm{\Delta x}}} \right)}}} \right) = - \frac{1}{{{\rm{x}}_0^2}}\]

Vậy \[{\rm{f'}}\left( {{{\rm{x}}_{\rm{0}}}} \right) = - \frac{1}{{{\rm{x}}_0^2}} \Rightarrow {\rm{f'}}\left( {\sqrt 2 } \right) = - \frac{1}{2}\]