Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1;e] thỏa mãn tích phân từ 1 đến e

30/50

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \[\left[ {1;e} \right]\] thỏa mãn \[\int\limits_1^e {\frac{{f\left( x \right)}}{x}dx} = 1\] và \[f\left( e \right) = 1.\] Tính tích phân \[I = \int\limits_1^e {f'\left( x \right).\ln xdx} .\]

\[I = 4\]

\[I = 3\]

\[I = 1\]

\[I = 0\]

Giải thích

Chọn đáp án D

Ta có \(I = \int\limits_1^e {f'\left( x \right).\ln xdx} = \int\limits_1^e {\ln xd\left[ {f\left( x \right)} \right]} = \left. {f\left( x \right).\ln x} \right|_1^e - \int\limits_1^e {f\left( x \right)d\left( {\ln x} \right)} \)

\( = f\left( e \right) - \int\limits_1^e {f\left( x \right).\frac{1}{x}dx} = 1 - 1 = 0\).