Cho hàm số F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x)=sinx+cosx, biết F(0)=3. Khi đó tích phân từ pi/6 đến pi/3 của F(x) dx có kết quả là

24/40

Cho hàm số \(F\left( x \right)\) là nguyên hàm của hàm số \(f\left( x \right) = \sin x + \cos x\), biết \(F\left( 0 \right) = 3\). Khi đó \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {F\left( x \right)dx} \) có kết quả là

\(\frac{{\sqrt 3 + \pi }}{3}\).

\(\frac{{2\pi }}{3}\).

\(\frac{{3\pi }}{4}\).

\(\frac{{\sqrt 3 - 1 + \pi }}{3}\).

Giải thích

Ta có \(F\left( x \right) = \int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \)\( = - \cos x + \sin x + C\).

Mà \(F\left( 0 \right) = 3\) nên \( - \cos 0 + \sin 0 + C = 3 \Leftrightarrow - 1 + C = 3 \Leftrightarrow C = 4\).

Vậy \(F\left( x \right) = - \cos x + \sin x + 4\).

Khi đó \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}} {\left( { - \cos x + \sin x + 4} \right)dx} \)\( = \left. {\left( { - \sin x - \cos x + 4x} \right)} \right|_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{3}}\)\( = \left( { - \sin \frac{\pi }{3} - \cos \frac{\pi }{3} + 4 \cdot \frac{\pi }{3}} \right) - \left( { - \sin \frac{\pi }{6} - \cos \frac{\pi }{6} + 4 \cdot \frac{\pi }{6}} \right)\)

\( = - \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{1}{2} + \frac{{4\pi }}{3} + \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{2\pi }}{3}\). Chọn B.