Cho hàm số f(x) = e^x + 1 khi x > 0, x^2 - 2x + 2 khi x < 0
Giải thích
Đặt \(t = \ln x - 1 \Rightarrow dt = \frac{{dx}}{x}.\)
Đổi cận \(x = \frac{1}{e} \Rightarrow t = - 2\) và \(x = {e^2} \Rightarrow t = 1.\)
Khi đó \(I = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( t \right)dt} = \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{ - 2}^0 {f\left( x \right)dx} + \int\limits_0^1 {f\left( x \right)dx} \)
\( = \int\limits_{ - 2}^0 {\left( {{x^2} - 2x + 2} \right)dx} + \int\limits_0^1 {\left( {{e^x} + 1} \right)dx} \)\( = \left. {\left( {\frac{{{x^3}}}{3} - {x^2} + 2x} \right)} \right|_{ - 2}^0 + \left. {\left( {{e^x} + x} \right)} \right|_0^1 = \frac{{32}}{3} + e = \frac{a}{b} + ce{\rm{. }}\)
Suy ra \(a = 32\,,\,\,b = 3\,,\,\,c = 1.\) Vậy \(a + b + c = 36.\)
Đáp án: 36