Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x(x-1)^2(x-2), mọi x thuộc R

25/150

Cho hàm số \[f\left( x \right)\] có đạo hàm \(f'\left( x \right) = x{\left( {x - 1} \right)^2}\left( {x - 2} \right),\,\,\forall x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số \(m\) để hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {{x^3} - 3{x^2} + m} \right)\) có đúng 8 điểm cực trị?

Giải thích

Đồ thị hàm số \(y = \left| {{x^4} - 2m{x^2} + 25} \right|\) có 7 điểm cực trị khi và chỉ khi \(f\left( x \right) = {x^4} - 2m{x^2} + 25\) có 3 cực trị và giá trị cực tiểu nhỏ hơn 0.

\(f'\left( x \right) = 4{x^3} - 4xm = 4x\left( {{x^2} - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 0}\\{{x^2} = m}\end{array}} \right.\).

Yêu cầu bài toán tương đương \(\left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{f( \pm m) < 0}\end{array} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m > 0}\\{{m^2} - 2m.m + 25 > 0}\end{array} \Rightarrow m \in \left\{ {1\,;\,\,2\,;\,\,3\,;\,\,4} \right\}} \right.} \right.\).

Do đó \(S = 1 + 2 + 3 + 4 = 10\). Chọn B.