Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = x^2 - 2x với mọi x thuộc R

24/150

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = {x^2} - 2x\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Hàm số \(g\left( x \right) = f\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4x\) đồng biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

\(\left( { - \infty \,;\,\, - 6} \right).\)

\(\left( { - 6\,;\,\,6} \right).\)

\(\left( { - 6\sqrt 2 \,;\,\,6\sqrt 2 } \right).\)

\(\left( { - 6\sqrt 2 \,;\,\, + \infty } \right).\)

Giải thích

Ta có \(g'\left( x \right) = - \frac{1}{2}f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) + 4.\)

Hàm số \(g\left( x \right)\) đồng biến khi \(g'\left( x \right) > 0 \Leftrightarrow f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8.\)

Xét \(f'\left( x \right) < 8 \Leftrightarrow {x^2} - 2x - 8 < 0 \Leftrightarrow - 2 < x < 4.\)

Suy ra \(f'\left( {1 - \frac{x}{2}} \right) < 8\) khi và chỉ khi \( - 2 < 1 - \frac{x}{2} < 4 \Leftrightarrow - 6 < x < 6.\)

Như vậy \(g\left( x \right)\) nghịch biến trên \(\left( { - 6\,;\,\,6} \right).\) Chọn B.