Cho hàm số f(x) có đạo hàm f'(x) = (x-4)(x+3)(x-m) với mọi x thuộc R

39/150

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) có đạo hàm \(f'\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - m} \right)\) với mọi \(x \in \mathbb{R}.\) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 10\,;\,\,10} \right]\) để hàm số đã cho có điểm cực tiểu là \(x = 4?\)

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có \(f'\left( x \right) = \left( {x - 4} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x - m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 4}\\{x = - 3}\\{x = m}\end{array}} \right..\)

• TH1: Với \(m = - 3 \Rightarrow f'\left( x \right) = \left( {x - 4} \right){\left( {x + 3} \right)^2}\)

Suy ra hàm số đã cho có duy nhất 1 điểm cực trị là \(x = 4.\)

• TH2: Với \(m \ne \left\{ { - 3\,;\,\,4} \right\}\) thì \(f'\left( x \right) = 0\) có ba nghiệm đơn phân biệt

Suy ra hàm số đã cho có duy nhất 3 điểm cực trị là \(x = 4\,;\,\,x = - 3\,;\,\,x = m.\)

Để \(x = 4\) là điểm cực tiểu thì \(m < - 3.\)

Khi đó, thứ tự các điểm cực trị từ bé đến lớn là \(x = m\,;\,\,x = - 3\,;\,\,x = 4.\)

Vậy \(m \le - 3\) và \[m \in \left[ { - 10\,;\,\,10} \right],\,\,m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 10\,;\,\, - 9\,;\,\, - 8\,;\,\, \ldots \,;\,\, - 3} \right\}.\] Đáp án: 8.